.

ТРАКТАТ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ КОЗЫРЕЙ У ВИСТУЮЩИХ И О СВЯЗАННЫХ С ЭТИМ РИСКАХ

Андрей Лебедев, 11.06.2017

1. Распределение трех козырей между вистующими.

Этот трактат, мои уважаемые читатели, я осмелюсь начать с изучения распределения трех козырей у двух вистующих.

Итак, у игрока 5 козырей. Как распределяются 3 оставшихся козыря между первым вистующим А и вторым вистующим В ?

Пусть случайная величина X выражает число козырей у вистующего А. Прежде, чем приступить к рассчету вероятностей, напомним читателю формулу для вычисления числа сочетаний:

C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!), …....................................................(1)

где m! - произведение целых чисел от 1 до m >= 1, по определению, 0! = 1. Например, число сочетаний из 4-х букв A, B, C, D по 2 штуки равно шести. Мы все эти сочетания можем выписать: (А,B), (A,C), (A,D), (B,C), (B,D), (C,D). Других пар не существует. Формула (1) дает тот же результат:

C(4,2) = 4! / (2! * 2!) = 1 * 2 * 3 * 4 / ( 1*2*1*2 ) = 6.

Теперь применим формулу (1) для вычисления распределения случайной величины X. Итак, у игрока 10 карт, еще две карты ему известны, они в скинутом прикупе. Оставшиеся известные 20 карт распределены неизвестным образом по 10 карт между вистующими A и B. Число сочетаний, которые возможны у вистующего A, равно C(20,10) – вот столько вариантов расклада карт между двумя вистующими.

Теперь выпишем только те сочетания из числа C(20,10), в которых присутствуют 2 козыря. Таких сочетаний меньше. Две карты у вистующего А – это козыри. Выбрать 2 козыря из трёх можно тремя способами: C(3,2) = 3. Остальные 8 карт выбираются из оставшихся 17-ти некозырных карт вот таким числом способов: C(17,8). Поэтому число всевозможных двухкозырных сочетаний у вистующего А равно C(3,2) * C(17,8). Считая все сочетания равновероятными, получим формулу вероятности того, что случайная величина X равна 2.

P{X=2} = C(3,2) * C(17,8) / C(20,10) = 15/38.

В общем случае

P{X=k} = C(3,k) * C(17, 10-k) / C(20,10), ….............................(2)

где 0 <= k <= 3. Результаты расчета по формуле (2) представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Теперь мы можем оценить размер выигрыша или проигрыша, взвешивая последствия с вероятностями 4/38, 15/38, 15/38 и 4/38. Например, мы можем вычислить цену для следующей лотереи. Она типична для тех игроков, которые не закладываются на семирной игре на три козыря у одного из вистующих.

Таблица 2.

Математическое ожидание выигрыша (средний выигрыш) в этой лотерее

M(W) = -58 * 4/38 + 18 * 30/38 + 18 * 30/38 – 58 * 4/38 = 2 виста.

Итак, цена такой лотереи +2 виста.

2. Распределение четырех козырей между вистующими.

Перейдем к изучению распределения 4-х козырей между двумя вистующими A и B. Как и прежде, пусть X – случайная величина, выражающая число козырей у вистующего A. Действуя аналогично, как в разделе 1, получим формулу:

P{X=k} = C(4,k) * C(16, 10-k) / C(20,10), ….............................(3)

где k принимает значения от 0 до 4, включительно. Результаты расчета по формуле (3) представлены в таблице 3.

Таблица 3.

“Нет повести печальней в этом мире, чем козыри четыре на четыре” - эти замечательные слова неизвестного поэта соответствуют случаям X = 0 или X = 4. Сконструируем лотерею, когда в этом крайне неблагоприятном раскладе игрок остается в шестерной игре без одной или даже без двух взяток.

Вот, что будет с вами, если вы играете шестерную игру в надежде, что козыри между вистующими разделятся пополам.

Таблица 4.

Математическое ожидание выигрыша в этой лотерее:

M(W) = -42,5 * 14 / 323 - 12 * 80 / 323 + 7 * 135 / 323 - 12 * 80 / 323 - 42,5 * 14 / 323 = -6,7 виста.

А теперь рассмотрим такую весьма реалистичную лотерею. Она характерна для игрока, который закладывается на распределение козырей 3:1, но не принимает в расчет редкий случай, когда все 4 козыря находятся у одного из вистующих.

Таблица 5.

Математическое ожидание выигрыша в этой лотерее

M(W) = -31 * 14 / 323 + 7 * 80 / 323 + 11,5 * 135 / 323 + 7 * 80 / 323 - 31 * 14 / 323 = 5,59 вистов.

Вывод для начинающих. Не упускайте возможности вистовать. В весьма достоверной модели шестерной игры вы приобретаете, в среднем, по 5,6 вистов за игру. Но зачастую, вы ленитесь и отказываетесь вистовать, упуская при этом, например, 4 или 6 вистов, то есть, величину соизмеримую с бонусом основного игрока.

Ф.2. Под стеною Памирского фирнового плато.

3. Совместное распределение козырей и второй сильной масти между вистующими.

Очень часто на руках у основного игрока, кроме козырей, имеется еще одна сильная масть. В ситуации, когда козырей у вистующих не осталось, даже маленькие карты этой масти забирают взятки. Второе назначение карт сильной масти – это вышибание крупных или длинных козырей у вистующих.

Наиболее опасной для основного игрока ситуацией является сосредоточение оставшихся козырей и оставшихся карт сильной масти у одного и того же вистующего.

Как и прежде, пусть X – число козырей у вистующего A. Случайной величиной Y обозначим число карт второй сильной масти у того же вистующего A.

Будем изучать совместное распределение пары случайных величин (X,Y).

4. Случай, когда у основного игрока 5 козырей и 5 карт второй сильной масти.

В этом случае (3-X) – число козырей у второго вистующего, (3-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего.

Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(3,k)*C(3,m)*C(14, 10-k-m) / C(20,10)........ (4)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в следующей таблице 6.

Таблица 6.

Само распределение P{X=k, Y=m} расписано в серых полях таблицы. В нижней (голубой) строке представлены суммы вероятностей по столбцам. Это, так называемое, маргинальное распределение случайной величины Y. То, что оно совпадает с распределением из таблицы 1, свидетельствует в пользу того, что вычислительных ошибок у нас нет.

5. Десять, девять или восемь?

Предположим, что у основного игрока козырные туз, король и три мелких козыря. И во второй сильной масти у него туз, король и три малки. Первый ход его. Какую игру заказывать?

В следующей таблице в серых клетках прописано количество взяток у основного игрока для каждого значения X и Y.

Таблица 7.

Посчитаем математическое ожидание выигрыша основного игрока, если он закажет десятерную игру. На десятерной не вистуют, её проверяют.

M(W) = -150 * 14/1292 – 75 * 468/1292 + 75 * 810/1292 = -150 * 14 / 1292 + 75 * 342 / 1292 = 18,2 вистов.

Оценим математическое ожидание выигрыша основного игрока, если он закажет девятерную игру. Рассмотрим самый наихужший для основного игрока вариант, когда вистующие играют идеально: вистуют тогда и только тогда, когда они имеют висты.

M(W) = (- 60 – 4*8) * 14/1292 + (60-8) * 468/1292 + 60 * 810/1292 = 55,5 вистов.

Наконец, оценим математическое ожидание выигрыша, если основной игрок закажет восьмерную игру. Будем считать, что вистующие играют идеально.

M(W) = (45 -12) * 14/1292 + (45-6) * 468/1292 + 45 * 810/1292 = 42,7 вистов.

Эти расчеты подтаерждают вполне очевидный для опытного игрока вывод. При раскладе “туз, король и три малки в двух мастях” закладываться надо только на одну третью даму. Рисковать и играть десятерную целесообразно только в том случае, если вы перебиваете, тем самым, девятерную игру у противника.

Ф.3. 1978 г. Туристы МАИ только что спустились с пика Фиккера (6725). Слева Никита Степанов, справа Никита Штван и виден нос Князя. Похоже, что у Степанова мизер.

6. Случай, когда у основного игрока 4 козыря и 4 карты второй сильной масти.

В этом случае (4-X) – число козырей у второго вистующего, (4-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего.

Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(4,k)*C(4,m)*C(12, 10-k-m) / C(20,10)........ (5)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в таблице 8.

Таблица 8.

Само распределение P{X=k, Y=m} записано в серых полях таблицы. В нижней (голубой) строке проставлены суммы вероятностей по столбцам. Эти суммы совпадают с вероятностями из таблицы 3, свидетельствует в пользу того, что вычислительных ошибок у нас нет.

Таблица 9.

В таблице 9 самые страшные расклады отмечены оранжевым цветом. Вероятность их 886 / 8398 – это чуть больше 10 %.

7. Случай, когда у основного игрока 5 козырей и 4 карты второй сильной масти.

В этом случае (3-X) – число козырей у второго вистующего, (4-Y) – число карт второй сильной масти у второго вистующего. Совместное распределение пары (X,Y) задается формулой:

P{X=k, Y=m} = C(3,k)*C(4,m)*C(13, 10-k-m) / C(20,10)....... (6)

Расчет вероятностей по этой формуле представлен в следующей таблице:

Таблица 10.

На этом я заканчиваю трактат, который был написан после похода в поезде Адлер-Москва.

Надеюсь, что этот материал будет полезен не только любителям преферанса и математики, но и профессиональным преподавателям, как основа для студенческих курсовых по курсу ТВ и МС.

Спасибо Никите Степанову за предоставленные для этой статьи классные фото.